内容:
密切联系生活 巧建数学模型
——由“植树问题”引发的思考
摘要 数学作为一门研究数量关系与空间结构的学科，它来源于生活又普遍应用于生活，具有较强的实用性。本文以“植树问题”为例，浅析如何在课堂上联系学生熟悉的生活背景，让学生根据实际问题建构数学模型，从而发展其思维方式。
关键字 生活 数学 模型 思维
随着《义务教育课程标准（2011年版）》的正式颁布实施，课程改革迈上了新的台阶，教育教学的理念也在不断变革，模型思想首次在《标准（2011年版）》中提出来，这充分体现了数学建模对学生学习的重要性。课标中明确指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”，因此小学数学教师在教学过程中更应把生活中的数学问题带入课堂，客观形象地引导学生建构好数学模型，再用数学的眼光看待生活，从而更深刻地理解数学与生活的密切联系。人教版四年级下册的“植树问题”就是由很多现实世界的问题或情境简化而来的一个结构，堪称数学建模中的一个经典问题。下面我结合自己在教学中的实际经验就如何巧建“植树问题”的数学模型进行浅析。
一、密切联系生活，引发学生思考
“良好的开端等于成功的一半”。贵州师范大学在2000年提出了“情境——问题”即“数学情境与提出问题”这种数学教学模式，这是为了全面推进素质教育而进行的一项改革实验，现已广泛应用于教育教学中，在国内收获了巨大的影响。在教学中，老师要尽量选择既为学生所熟知，又要与所讲授的课题有关并且具有代表性的实例，采取实例和问题相结合的方法导入课堂，并合理地设置提问引发学生思考。
比如在处理下面这道例题时：
例：A路长500米，现在打算在路旁种一排树，如果每间隔10米种一棵，两端都栽树的话要准备多少棵树苗？
为了让学生建构好“间隔排列的两种物体之间的数量关系”的模型，我选择了这样一个问题来引入：
学校“六·一”要举行广播操比赛，每行都要一男一女地间隔着站，若每行站8人，一行中男女生各有多少人？若每行站11人，一行中又各有多少男女生呢？
这个问题情境对于学生来说是比较熟悉的一个场景，有利于学生通过感知以往的经验并从中提炼要点为建构模型服务。
二、构建现实模型，仔细分析求解
实际问题引入后，接下来就要对问题进行分析抽象，提炼出有效的信息，从而建立现实的模型，并求解模型。因此，日常教学中教师要更多地关注学生对问题的分析，对解决问题过程的把握，而不能仅仅满足于有正确的答案，使学生在潜移默化中学会从复杂的具体问题中提炼出我们需要的信息，并利用这些信息巧建现实模型。
引入的这个现实模型可以放手让学生画一画，用哪种符号都行，教师只做简单的引导。如有的学生就用“○”表示男生，用“△”表示女生，通过巡视发现，有的同学“一行站8人”画图表示为“○△○△○△○△”，有的则是“△○△○△○△○”，这里老师就不要做硬性的规定，只要符合要求均可，本身构建现实模型就应注重问题的可拓展性和开放性。
同时我又看到了学生画的“一行站12人”可表示为“○△○△○△○△○△○”或者是“△○△○△○△○△○△”。
若男女生继续往下站应该怎么排列呢？让学生继续动手画一画，之后我便问学生有没有发现什么规律。学生的回答丰富多彩，“一个○后面跟一个△”，“一个○和一个△可以看成一组”，“有些情况下后面的○只有一个，没有△和它一组” ……甚至有同学已经知道了“一一对应”。
这个时候我就顺着学生的回答把其中蕴含的“对应”思想提炼出来，即我们可把一个“○”和一个“△”看成一组“对应”，从而求解出这个现实模型。
三、合理拓展思维，巧建数学模型
将构建的实际模型进行合理转化，拓展到植树问题上就是树与间隔的对应问题。在这一过程中，学生要通过观察、分析、抽象、概括等数学活动来使知识进行迁移，得到数学模型，这是巧建模型中最重要的一步。对于500米长的A路，学生会觉得路太长了不好画，所以可以提示学生先解决稍简单的问题，将500米简化成50米的情况。
通过巡视，有些学生用“↑”表示树，用“＿”表示间隔，把50米长的路以及路旁的树木模拟画出来，即“↑＿↑＿↑＿↑＿↑＿↑”。我提出问题“你发现了树与间隔之间有怎样的关系呢？”
通过画图学生发现了，这条路可以分为五段，即有5个间隔，两端都种树的话有五组“↑＿”这样的对应，但最后还有一颗树没有间隔和它对应，所以总共可以种六棵树，树比间隔数多1。然后再让学生分别讨论只栽一端，两端都不栽的情况。
最后可以得出这个数学模型的解，即：
两端都栽：树的棵树=间隔数+1
只栽一端：树的棵树=间隔数
两端都不栽：树的棵树=间隔数-1
通过广播操比赛的现实模型建立了“对应”的思想，然后合理转化到了简单的“植树问题”上，学生通过主动获取知识的这一活动，在脑海中建立起了数学模型，这对于后者的理解就变得容易多了。
四、模型回归生活，求解实际问题
对于任何一门学科来说，它来源于生活又要应用于生活，数学学科尤其如此。数学建模更多地是注重学生能用所学的知识去解决实际问题，增强“用”数学的意识，达到学以致用的目的。
对于一开始提出来的例题完全可以通过建立好的数学模型进行求解。根据“两端都栽：树的棵树=间隔数+1”这个结论，学生可以很轻松的求解出答案为（500÷10）+1=51（棵）。
五、扩展模型外延，发展数学思维
“植树问题”是生活中大量类似场景的一个简化，学习了这一数学模型的构建，并不意味着阶段学习的结束，要不断加强对模型的理解，搜集同样类型的实例来扩展模型的外延，，如遇到排队、装路灯，钟声问题等，学生都可以通过建构好的模型，采用“对应”的思想来思考，从而加深对所建模型的熟悉程度。
总之，构建数学模型不仅调动了学生的主动性，同时发展了学生的数学思维，培养了学生的探索、创新精神。最重要的是，通过巧建数学模型，使数学教学的真正意义得以实现。因此，在数学学习中掌握建立数学模型的方法是非常必要的。
参考文献：
[1] 王光明 范文贵．新版课程标准解析与教学指导[M]北京师范大学出版社．2012(83-85)
[2] 吴孟达．数学建模的原理与实践[J]国防科技大学出版社．1999(2)
[3] 张家兴．影响学生主动建构数学知识的要素的研究[J]福建师范大学．2001(2)
