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对毕业班数学习题评析策略的思考
毕业班数学复习任务重，时间紧，如何提高习题评析的有效性，已成为数学老师普遍关注的话题。自从课题《毕业班有效的课堂教学“讲练”策略研究(初中数学)》在我校挂牌以后，在毕业班数学教学中，我对习题评析策略进行了思考与尝试，认为可以从以下几个方面去探讨。
一、 有意识地进行数学思想方法的渗透与强化
数学思想方法是数学的精髓，是知识转化为能力的桥梁。爱因斯坦说：“在一切方法的背后，如果没有一种生机勃勃的精神，它们到头来不过是笨拙的工具。”这里精神就是对方法本质的认识。因此，在习题评析时，老师应对题目涉及的思想方法有意识地向学生进行渗透，并予以强化，从而提高学生解决问题的有效性。
例1、如图1：从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN作垂线AA1、BB1、CC1、DD1，垂足是点A1、B1、C1、D1，可得结论：AA1+CC1＝BB1+ DD1
请运用上述信息直接解决下面问题：如图2,将图1中的直线MN向上平移，使点A与B、C、D三点分居在直线MN两侧，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足是A1、B1、C1、D1，试问垂线段AA1、BB1、CC1、DD1之间存在什么关系？
题目要求学生运用图1中的信息解决图2中的问题，这里就暗示了一种解决问题的数学思想方法——转化思想。怎么样进行转化是解决问题的关键。为此，我引导学生观察图1图2两个图形的特点，尤其是两个图形的不同点，它是将图2的问题转化为图1问题的突破口。学生通过观察、思考和讨论后发现：图1中平行四边形的四个顶点都在直线MN的同侧，图2中A点却在直线MN的另一侧，知道了两个图的不同点，也就有了转化的策略：将图2中直线MN向下平移至M’N’的位置（图3）。
由图1信息可知：AA2+CC2＝BB2+ DD2
∴A1A2—AA1+CC1+ C1C2＝BB1+ B1B2 +DD1+ D1D2
∵A1A2＝B1B2＝C1C2＝D1D2
∴CC1—AA1＝BB1+ DD1
这个问题包含了将一般问题转化为特殊问题的数学思想方法，为了进一步强化学生对这种思想方法的认识，并将这种思想方法运用到解题过程中，我趁热打铁，给出了下面的问题：
例2：如图4，P为矩形ABCD的边AB上一点，可得出结论：PA2+PC2＝PB2+PD2
请根据图4的结论，说明当P在矩形ABCD外时(如图5)是否有PA2+PC2＝PB2+PD2？
如何将图5的问题转化为图4的问题是解决问题的关键。为了突破这一难点，我注意引导学生观察图5与图4的不同点，学生发现：图5中的P点不在矩形的一条边上。因此，我就启发学生思考：怎样使P点落在矩形的一条边上？学生经过探讨，结合例1的处理问题的思想方法，于是就有了图6的添辅助线策略。
二、 有意识地对知识进行迁移与辐射
例3、如图7,正方形ABCD的边长为4，E在CD边上，DE＝1,M为BD上一个动点，求ME+MC的最小值。
为了评析这个问题，我首先让学生回顾这样一个问题：
“在幸福河(记为L)的北边有两个村庄A、B，现要在河边建一个水厂向两个村庄供水，请问水厂建在何处，才能使铺设的水管最短？”作A点关于直线l的对称点A',连接A'B交l于P点，P就是水厂的位置。我对这个问题进行了简要说明，然后就引导学生思考：例3与我们刚才解决的问题相近吗？学生经过思考、讨论后发现，把例3中的点C、E看作是两个村庄，直线BD看作是河流l,问题就可以迎刃而解。从分析我们可以看出，例3是将这一问题的知识点进行迁移的一种体现（图中的虚线是处理策略）。实际上，这个问题可以辐射到一些具有轴对称性的图形上而生成新的问题。如：
1）A为半圆弧的中点，B为弧AC的中点，M是直径CD上的一个动点，⊙O的半径为1,求AM+BM的最小值(如图9，虚线是处理策略)。
2）已知:抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，试在抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小（如图10,虚线是处理策略）。
由此可见，老师如果能在习题的评析中把某个问题中的知识(点)或思想方法，通过适当的迁移和辐射，可以衍生出一系列问题。这样，学生就可以通过对某个问题的解答，从而达到解决一类问题的效果，这种通过问题的一个点辐射到一个面的处理问题策略，比老师单纯地去讲几个题目更能提高学生解决问题的能力。
三、 有意识地对习题进行适度演变与拓展
对习题的演变与拓展，就是对习题的条件或结论做一些适当的变换。我们注意到青浦教学经验中的“变式练习”具有：
- 能排除干扰，提高新旧知识思辩性；
- 扩大新知识的应用范围，提高学生的概括能力；
③锻炼学生的思维，发展创造性思维的功能。这种演变与拓展可以激发认知冲突，使学生产生强烈的求知欲。
学生完成这个例题后，我对习题进行了演变：
评析时，我引导学生观察变式1的条件与例4的条件，启发他们把例4的条件进行去分母，结果发现与变式1的条件完全相同；对于变式2,它是把例4中所求的式子进行了变换，这一换，引发了学生当学生得知“真相”后，就会为解题中充满无限乐趣而欢笑。
习题演变与拓展的方法很多，老师可以在平时的教学中不断探索。老师对问题进行演变和拓展，不仅激发了学生学习的兴趣，老师的这种教学行为也在不知不觉中影响着学生，学生也会在练习的过程中尝试老师的方法对习题进行演变，这在很大程度上提高了学生练习的有效性。
四、有意识地将同类问题进行归类评析
一份试卷或一份练习，不需要对每一个问题都进行评析。对于学生存在问题的某些题目也可以暂时搁置起来，等到后面再出现类似问题时一并进行评析。例如，在一次练习中有这样一道题目：
（2011十堰中考题）如图,平行四边形AOBC中,对角线交于点E,双曲线经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k＝________.
学生在解答这个问题时还存在一些问题，我对他们进行了启发。后来的一次练习中又出现了下面的一道题目：如图，点A，B在反比例函数的图像上，过点A，B作轴的垂线，垂足分别为M，N，延
长线段AB交轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k值为_________
教学中，我先对第一个问题进行了评析，进而要求学生分析这两道题的特点，看看它们有什么共同点，并启发学生进行思考：怎样把第二个问题转化为第一个问题？
把同类问题集中起来评讲，不仅可以加深学生对问题的理解，使之能更深地看清问题的本质，同时又可以举一反三，起到事半功倍的效果，提高了学生评析的效果。
